Question

如图，⊙O是三角形ABC的外接圆，AC是直径，过O作线段OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过

如图，⊙O是三角形ABC的外接圆，AC是直径，过O作线段OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于点F,连接PF,求证:PF是⊙O的切线

Answer 1

（1）解：∵AC=12，
∴CO=6，
∴

PC
=
60•π•6
180
=2π；

（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，
∠PEA=90°，∠ADO=90°
在△ADO和△PEO中，

∠ADO＝∠PEO
∠AOD＝∠POE
OA＝OC

，
∴△POE≌△AOD（AAS），
∴OD=EO；

（3）证明：如图，连接AP，PC，

∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA，
由（2）得OD=EO，
∴∠ODE=∠OED，
又∵∠AOP=∠EOD，
∴∠OPA=∠ODE，
∴AP∥DF，
∵AC是直径，
∴∠APC=90°，
∴∠PQE=90°
∴PC⊥EF，
又∵DP∥BF，
∴∠ODE=∠EFC，
∵∠OED=∠CEF，
∴∠CEF=∠EFC，
∴CE=CF，
∴PC为EF的中垂线，
∴∠EPQ=∠QPF，
∵△CEP∽△CAP
∴∠EPQ=∠EAP，
∴∠QPF=∠EAP，
∴∠QPF=∠OPA，
∵∠OPA+∠OPC=90°，
∴∠QPF+∠OPC=90°，
∴OP⊥PF，
∴PF是⊙O的切线．

Answer 2

：接问题（3） 由（2）知：OD=OE ∴∠ODE=∠OED， 又∵PD⊥AB，AC为圆O的直径， ∴ PD∥BF，∴ ∠CFE=∠ODE，又∵∠CEF=∠DEO∴∠CEF=∠CFE， ∴ CE=CF，∵PD∥BF ∴∠PCF=∠OPC ∵ OP=OC ∴ ∠OPC=∠OCP ∴ ∠PCF=∠PCE ∵PC=PC，∴△PEC≌△PFC （SAS）∴∠FPC=∠CPE ∵∠CPE+∠PCO=90°，∴∠CPF+∠OPC=90°，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．

Answer 3

1. 吧v  VVT
   

Answer 4