Question

求三元方程组的矩阵解法

对于圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=R^2，a,b,R都未知，可以用圆上任意三个点，列出方程组求解。

如果我这个圆上的点是测量得到的，有误差，我测了100个点，也就是100组（x,y），怎么用高等方法直接求出a,b和R？
如果嫌写起来太麻烦，大概给说个思路也行，谢谢。

Answer 1

对于一般的超定线性方程组 Ax=b，可以通过解相应的法方程 A^TAx=A^Tb 来得到一个最小二乘解 x，这个解虽然不满足所有方程（因为原方程无解），但也是与所有方程吻合程度比较接近的一个解

对于你的问题，(x-a)^2+(y-b)^2=R^2 并不是很好的形式，因为代入测量值 (xi,yi) 后得到是关于 a,b,R 的二次超定方程组，所以最好是采用 x^2+y^2+px+qy=s 的形式，这样可以得到关于 p,q,s 的超定线性方程组，然后用上面说的最小二乘方法解出 p,q,s，最后再转化到关于 a,b,R 的形式

Answer 2

设这三个特解为x1，x2，x3；则对应的齐次方程组的基向量有3-r（秩）个。若为r=1，则则对应齐次方程祖的通解为k1（x2-x1）和k2（x3-x1），若r=2，则对应齐次方程祖的通解为k1（x2-x1）或k2（x3-x1）.而x1为非齐次方程组的特解，则其通解为特解加上对应齐次方程组的通解。

追问

你回答的不是我问的问题，现在方程比解多，没有通解，全是特解，而且因为都是测量值，有误差，不同的方程组解出来的特解都不一样，也有误差。
有没有高等方法，不用带入求解，直接一次能把所有特解都导出来的。