Question

高数十二五第二版上册答案 习题1-3第四题

Answer 1

习题1-3
1.根据函数极限的定义证明:
(1);
分析因为
|(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|,
所以要使|(3x-1)-8|<e,只须.
证明因为"e>0,$,当0<|x-3|<d时,有
|(3x-1)-8|<e,
所以.
(2);
分析因为
|(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|,
所以要使|(5x+2)-12|<e,只须.
证明因为"e>0,$,当0<|x-2|<d时,有
|(5x+2)-12|<e,
所以.
(3);
分析因为
,
所以要使,只须.
证明因为"e>0,$,当0<|x-(-2)|<d时,有
,
所以.

(4).
分析因为
,
所以要使,只须.
证明因为"e>0,$,当时,有
,
所以.
2.根据函数极限的定义证明:
(1);
分析因为
,
所以要使,只须,即.
证明因为"e>0,$,当|x|>X时,有
,
所以.
(2).
分析因为
.
所以要使,只须,即.
证明因为"e>0,$,当x>X时,有
,
所以.
3.当x®2时, y=x2®4.问d等于多少,使当|x-2|<d时, |y-4|<0.001？
解由于当x®2时, |x-2|®0,故可设|x-2|<1,即1<x<3.
要使
|x2-4|=|x+2||x-2|<5|x-2|<0.001,
只要.
取d=0.0002,则当0<|x-2|<d时,就有|x2-4|<0. 001.
4.当x®¥时, ,问X等于多少,使当|x|>X时, |y-1|<0.01?
解要使,只要,故.
5.证明函数f(x)=|x|当x®0时极限为零.
证明因为
|f(x)-0|=||x|-0|=|x|=|x-0|,
所以要使|f(x)-0|<e,只须|x|<e.
因为对"e>0,$d=e,使当0<|x-0|<d,时有
|f(x)-0|=||x|-0|<e,
所以.
6.求 当x®0时的左﹑右极限,并说明它们在x®0时的极限是否存在.
证明因为
,
,
,
所以极限存在.
因为
,
,
,
所以极限不存在.
7.证明:若x®+¥及x®-¥时,函数f(x)的极限都存在且都等于A,则.
证明因为, ,所以"e>0,
$X1>0,使当x<-X1时,有|f(x)-A|<e;
$X2>0,使当x>X2时,有|f(x)-A|<e.
取X=max{X1, X2},则当|x|>X时,有|f(x)-A|<e,即.
8.根据极限的定义证明:函数f(x)当x®x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
证明先证明必要性.设f(x)®A(x®x0),则"e>0,$d>0,使当0<|x-x0|<d时,有
|f(x)-A|<e.
因此当x0-d<x<x0和x0<x<x0+d时都有
|f(x)-A|<e.
这说明f(x)当x®x0时左右极限都存在并且都等于A.
再证明充分性.设f(x0-0)=f(x0+0)=A,则"e>0,
$d1>0,使当x0-d1<x<x0时,有| f(x)-A<e;
$d2>0,使当x0<x<x0+d2时,有| f(x)-A|<e.
取d=min{d1,d2},则当0<|x-x0|<d时,有x0-d1<x<x0及x0<x<x0+d2,从而有
| f(x)-A|<e,
即f(x)®A(x®x0).
9.试给出x®¥时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.
解 x®¥时函数极限的局部有界性的定理:如果f(x)当x®¥时的极限存在,则存在X>0及M>0,使当|x|>X时, |f(x)|<M.
证明设f(x)®A(x®¥),则对于e=1,$X>0,当|x|>X时,有|f(x)-A|<e=1.所以
|f(x)|=|f(x)-A+A|£|f(x)-A|+|A|<1+|A|.
这就是说存在X>0及M>0,使当|x|>X时, |f(x)|<M,其中M=1+|A|.