Question

初二数学：如图，在RT△ABC中，∠A=90º，AB=AC，D为BC的中点. 1〕如图，E，F分别

初二数学：如图，在RT△ABC中，∠A=90º，AB=AC，D为BC的中点. 1〕如图，E，F分别是AB，CA上的点，且BE=AF，则△DEF为等腰直角三角形.请说明理由. 2〕若EF分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，则△DEF仍为等腰直角三角形.请画出图形，并说明理由.

Answer 1

（1）连接AD，由AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，可得∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而即可得到∠B=∠DAF，再有BE=AF，AD=BD，即可证得△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即可证得结论；
（2）先由∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°，可得∠DAF=∠DBE，再结合两组对边对应相等，即可证得△BED≌△AFD从而证得结论．
连结AD，

∵，∠BAC＝90°，为BC的中点
∴AD⊥BC，BD＝AD
∴∠B＝∠DAC＝45°
又∵BE＝AF
∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF
∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°
∴△DEF为等腰直角三角形；
②若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示，连结AD

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点
∴AD＝BD，AD⊥BC
∴∠DAC＝∠ABD＝45°
∴∠DAF＝∠DBE＝135°
又AF＝BE
∴△DAF≌△DBE（SAS）
∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB
∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°
∴△DEF仍为等腰直角三角形.