Question

已知函数f （x）=√ax ²+2ax+1 的定义域为R

若函数f （x）的最小值为二分之根号二（√2 /2）解关于x 的不等式x²-x-a²-a＜0

Answer 1

ax²+2ax+1≥0对于任意x∈R恒成立
当a=0时，不等式变为1≥0，恒成立，此时f(x)=1，与f(x)min=√2/2相矛盾，舍去；
当a≠0时，要求a>0，Δ=4a²-4a≤0，∴0<a≤1，此时f(x)=√[a(x+1)²+1-a]，当x=-1时，f(x)min=√(1-a)，
∴√(1-a)=√2/2，∴1-a=1/2，∴a=1/2
而不等式x²-x-a²-a<0可变为x²-x-a(a+1)<0，即[x-(a+1)](x+a)<0，即(x-3/2)(x+1/2)<0，∴-1/2<x<3/2

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Answer 2

∵定义域为R
∴ax+2ax+1≥0的解集R
∴a≥0且△=4a²-4a≤0
∴0≤a≤1
∵f （x）的最小值为二分之根号二
∴√(1-a)=√2/2
∴a=1/2
∵x²-x-a²-a＜0
∴x²-x-3/4<0
∴-1/2<x<1