Question

一道微积分问题

放射物的放射速率与放射物的剩余量成正比。设初始时t=0，放射物质量为M0，试确定t时刻放射物的质量M(t)
虽然知道这是道很简单的微积分问题，但是方程不会列。。。还有哪里有这类问题的训练

Answer 1

放射速率就是放射物减少的速率，所以是：- dM/dt
与剩余量成正比就是：-dM/dt=c*M(t)
解得：M(t)=b*e^{-c*t}
把M(0)=M0代入，得到：
M0=b
所以M(t)=M0*e^{-c*t}，c是一个常数

追问

由-dM/dt=c*M(t)
解得：M(t)=b*e^{-c*t}
这一步是怎么出来的

追答

-dM/dt=c*M(t)
dM/dt + c*M(t)=0
两边同乘以e^{ct}
e^{ct}*dM/dt + c*e^{ct}*M(t)=0
上面的式子等价于
d{ e^{ct}*M(t) } / dt = 0（你可以把等式左边求导展开，就等于上面式子的左边）
上面这个函数的导数为0，所以这个函数为待定的常数：
e^{ct}*M(t)=b
从而：
M(t)=b*e^{-ct}
然后代入M(0)=M0即可得到b的值
c的值待定。

这个在常微分方程里面会详细说的，但也是很基础的方法，所以微积分里面偶尔也会用到。

Answer 2

不明白楼主为什么第一题做出来了第2题没做出来呢，式子是一样的，只不过第一题是从0积分到3，第2题是从0积分到X，再解方程就能得到被抽了多深的水，剩下的就是答案，方程是3次的，不过比较特殊，代几个值就能算出抽走了1M的水，所以我算出剩下的水深2M