Question

已知f(x)=e^x-x+1/2x^2,若f(x)>1/2x^2+ax恒成立,求a的取值范围

Answer 1

∵f（x）＞1/2*x^2+ax ∴e^x＞（1+a）x 设新函数g（x）=e^x/x，则g’（x）=[e^x（x-1）]/x^2 当x-1＞0时，即x＞1，g’（x）＞0，函数单调递增，所以g（1）=e＞1+a即可，a＜e-1 当x-1＜0时，即x＜1，g’（x）＜0，函数单调递减，所以g（1）=e＞1+a即可，a＜e-1 当x-1=0时，即x=1，g’（x）=0，函数有极小值 综上，a＜e-1

Answer 2

原命题是e^x-x+1/2x�0�5>(1/2)x�0�5+ax
e^x-(1+a)x>0对x恒成立
令g(x)=e^x-(1+a)x
g'(x)=e^x-(1+a)
令g'(x)=0
则x=ln(1+a)
因为g[ln(1+a)]=(1+a)[1-ln(1+a)]要恒大于0
所以a>-1且1+a<e,a∈(-1,e-1)
或者a<-1且1+a>e,舍去