Question

已知定义在R上的函数f(x)=x^2-(3-a)+2(1-a) (其中a属于R) (1)若关于x

已知定义在R上的函数f(x)=x^2-(3-a)+2(1-a) (其中a属于R) (1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为（负无穷大，1）并上（2，正为穷大）试确定a的值 （2）若不等式f(x)大于等于x-3对任意x>2恒成立，求a的取值范围

Answer 1

f(x) = x²-(3-a)x+2(1-a) = (x-2)[x-(1-a)]
其与x轴的两个交点分别为（2，0），（1-a，0）

（1）若关于x的不等式f(x)>0的解集为（-∞，1）并上（2，+∞）

则1-a=1
a = 0

（2）若不等式f(x)大于等于x-3对任意x>2恒成立，

f(x) = x²-(3-a)x+2(1-a) ≥ x-3
相当于：g(x) = x²-(3-a)x+2(1-a)-(x-3) = x²-(4-a)x+5-2a ≥0

首先，图像开口向上，当判别式△≤0时，图像在x轴上方，x取任何值时g(x)均大于0
此时△=(4-a)²-4(5-2a) = a²-4 = (a+2)(a-2)≤0，-2≤a≤2
即a∈[-2，2]时，符合要求。

当判别式△＞0时，g(x)图像与x轴有两个交点
此时g(x) = x²-(3-a)x+2(1-a)-(x-3)

= x²-(4-a)x+5-2a
= [x-(2-a/2)]²-(2-a/2)²+5-2a
= [x-(2-a/2)]²-4+2a-a²/4+5-2a
= [x-(2-a/2)]²-a²/4+1
= [x-2+a/2+√(a²-4)/2][x-2+a/2-√(a²-4)/2]
此时只要满足与x轴右交点x=2+a/2+√(a²-4)/2≥2即可
即：a/2+√(a²-4)/2≥0
a+√(a²-4)≥0
又：有两个交点时a＞2或a＜-2
可得：a＞-2

综上：a∈[-2，+∞）时，不等式f(x)大于等于x-3对任意x>2恒成立