Question

x1>0,x(n+1)=1-e*-xn,证明数列xn收敛

Answer 1

首先由数学归纳法得01

令f(xn)=x(n+1)-xn=1-e^(-xn)-xn

对于函数f(x)=1-e^(-x)-x

f'(x)=e^(-x)-1

当0故当0即x(n+1)即{xn}单调递减,又{xn}有下界0,故{xn}收敛

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

Answer 2

首先由数学归纳法得0<xn<1（n>1）
令f(xn)=x(n+1)-xn=1-e^(-xn)-xn
对于函数f(x)=1-e^(-x)-x
f'(x)=e^(-x)-1
当0<x<1时，f'(x)<0且f(0)=0
故当0<x<1时，f(x)<0
即x(n+1)<xn
即{xn}单调递减，又{xn}有下界0，故{xn}收敛