Question

高中数学题求解题过程，谢谢

Answer 1

解：1、
当a=0时，f(x)=-2x+1
f(x)在R上是单调递减函数
当a≠0时，f(x)=ax²-2x+1=a(x-1/a)²+1-1/a
当a>0时，f(x)在[1/a，+∞）上是单调递增函数，在（-∞，1/a]上是单调递减函数
当a<0时，f(x)在[1/a，+∞）上是单调递减函数，在（-∞，1/a]上是单调递增函数
2、
因为1/3≤a≤1,，所以1≤1/a≤3
于是N(a)=f(x)min=f(1/a)=1-1/a
M(a)是f(1)与f(3)中最大者
f(1)=a-1
f(3)=9a-5
f(3)-f(1)=8a-4=4(2a-1)
因为1/3≤a≤1，
所以当1/3≤a≤1/2时，f(3)-f(1)<0 M(a)=f(1)=a-1
当1/2≤a≤1时，f(3)-f(1)>0 M(a)=f(3)=9a-5
所以
当1/3≤a≤1/2时，g(a)=M(a)-N(a)=a-1-(1-1/a)=a+1/a-2
当1/2≤a≤1时，g(a)=M(a)-N(a)=9a-5-(1-1/a)=9a+1/a-6
3、
当1/3≤a≤1/2时，
g(a)=a+1/a-2
g`(a)=1-1/a²<0
所以g(a)min=g(1/2)=1/2
即有g(a)≥1/2
当1/2≤a≤1时，
g(a)=9a+1/a-6
g`(a)=9-1/a²>0
所以g(a)min=g(1/2)=1/2
即有g(a)≥1/2
综上所述：当1/3≤a≤1都有g(a)≥1/2

Answer 2