Question

设函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax,其中a∈R

当x∈【1，3】时，f（x）的最小值为4， 求a的值

Answer 1

f'(x)=6x^2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a);
f''(x)=12x-6(a+1);
当f'(x)=0时,x=1,x=a.
则x=1,x=a是函数f(x)的极值点.
f(1)=2-3(a+1)+6a=3a-1;
而f''(1)=12-6(a+1)=6-6a
则:当f''(1)=6-6a>0时,a<1;则当x>1时f'(x)=6(x-1)(x-a)>0;且另一极值点x=a在x=1左侧.不在【1，3】上.
于是在这种情况下,f(1)=3a-1就是最小值.
则f(1)=3a-1=4.
a=5/3
a=5/3>1,不符合刚才导出的条件.所以不是

当f''(a)=12a-6(a+1)=6a-6>0时,a>1;则f(1)=3a-1是极大值(注:不一定是最大值)
那么当a>3时,f(3)=54-27(a+1)+18a就是最小值;
则54-27(a+1)+18a=4;
a=23/9<3;还不对;
当1<a≤3时,就是f(a)=2a^3-3(a+1)a^2+6a^2=-a^3+3a^2=4
a^3-3a^2+4=0;
配项:(a^3-3a^2+2a)+(-2a+4)=0;
a(a-1)(a-2)-2(a-2)=0;
(a^2-a)(a-2)-2(a-2)=0;
(a^2-a-2)(a-2)=0;
则a^2-a-2=0或a-2=0;
得a=2或a=-1.
检验:只有a=2满足条件1<a≤3.
∴a=2

Answer 2

f'(x)=6x^2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a);
f''(x)=12x-6(a+1);
当f'(x)=0时,x=1,x=a.
则x=1,x=a是函数f(x)的极值点.
f(1)=2-3(a+1)+6a=3a-1;
而f''(1)=12-6(a+1)=6-6a
则:当f''(1)=6-6a>0时,a<1;则当x>1时f'(x)=6(x-1)(x-a)>0;且另一极值点x=a在x=1左侧.不在【1，3】上.
于是在这种情况下,f(1)=3a-1就是最小值.
则f(1)=3a-1=4.
a=5/3
a=5/3>1,不符合刚才导出的条件.所以不是
当f''(a)=12a-6(a+1)=6a-6>0时,a>1;则f(1)=3a-1是极大值(注:不一定是最大值)
那么当a>3时,f(3)=54-27(a+1)+18a就是最小值;
则54-27(a+1)+18a=4;
a=23/9<3;还不对;
当1<a≤3时,就是f(a)=2a^3-3(a+1)a^2+6a^2=-a^3+3a^2=4
a^3-3a^2+4=0;
配项:(a^3-3a^2+2a)+(-2a+4)=0;
a(a-1)(a-2)-2(a-2)=0;
(a^2-a)(a-2)-2(a-2)=0;
(a^2-a-2)(a-2)=0;
则a^2-a-2=0或a-2=0;
得a=2或a=-1.
检验:只有a=2满足条件1<a≤3.
∴a=2