Question

已知数列AN满足A1=8,an+1-an=n,则an/n的最小值

求过程详细再详细

Answer 1

a(n+1)-an=n
an-a(n-1)=n-1
a(n-1)-a(n-2)=n-2
……………………
a3-a2=2
a2-a1=1
累加，得：an-a1=(n-1)+(n-2)+…+2+1
=(n-1+1)(n-1)/2
=n(n-1)/2
=n²/2-n/2
而a1=8，所以an=8+n²/2-n/2 (n≥2)
而当n=1时，a1=8+1/2-1/2=8满足此式
所以an=8+n²/2-n/2 (n∈N+)
那么an/n=8/n+n/2-1/2≥2√(8/n*n/2)-1/2=7/2
当且仅当8/n=n/2，即n=4时取等
所以当n=4时，an/n最小，最小值为7/2

Answer 2

an+1-an=2n

an-an-1=2(n-1)

.....
a3-a2=4
a2-a1=2
相加，得
an-a1=2+4+...+2(n-1)=(n-1)n
an=n²-n+8
所以
an/n=n-1+8/n
=n+8/n-1
>=2根号8-1
即n=8/n时取最小值，但n是整数，
n在2√2两边。
n=2时
a2/2=2+4-1=5
n=3时
a3/3=3+8/3-1=4又3分之2
即
最小值=14/3
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