Question

(2^x-1)/x当x趋近于0时的极限怎么求？

两个重要极限求：
令：2^x - 1 = t , 则：x = ln(1+t)/ln2 , x->0 ,t->0
lim(x->0) (2^x-1)/x
=lim(x->0) t/[ln(1+t)/ln2]
=lim(x->0) ln2/ln[(1+t)^(1/t)]
= ln2/lne
= ln2
倒数第三行看不懂，ln[(1+t)^(1/t)]怎么来的？
再详细也不为过，我数学基础差。

Answer 1

Answer 2

【罗必塔法则】
lim(x->0) (2^x-1)/x
=lim(x->0) ln2 * 2^x /1
= ln2

【等价无穷小量】
令：2^x - 1 = t , 则：x = ln(1+t)/ln2 , x->0 ,t->0 ，ln(1+t)~ t
lim(x->0) (2^x-1)/x
=lim(x->0) t/[ln(1+t)/ln2]
=lim(x->0) ln2 t/ln(1+t)
= 1

【重要极限】
令：2^x - 1 = t , 则：x = ln(1+t)/ln2 , x->0 ,t->0
lim(x->0) (2^x-1)/x
=lim(x->0) t/[ln(1+t)/ln2]
=lim(x->0) ln2/ln[(1+t)^(1/t)]
= ln2/lne
= ln2
求采纳为满意回答。