Question

函数连续,某点导数存在,但导函数在这点不连续，这种情况是怎么回事，能举个例子吗，谢谢啦

Answer 1

比如一个经典分段函数：

f(x)=x^2·sin(1/x)    

 x≠0时

f(x)=0                    

x=0时

在 x=0 处，f(x)可导

但f '(x)=2x·sin(1/x)-cos(1/x)     

x≠0时

f '(x)=0                                

 x=0时

 f '(x)在x=0极限不存在，所以不连续。

法则

定理一 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

定理二 连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。

定理三 连续函数的复合函数是连续的。

这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。

Answer 2

比如一个经典分段函数：

f(x)=x^2·sin(1/x)     x≠0时

f(x)=0                    x=0时，

在 x=0 处，f(x)可导，

但

f '(x)=2x·sin(1/x)-cos(1/x)     x≠0时

f '(x)=0                                 x=0时，

 f '(x)在x=0极限不存在，所以不连续。