Question

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|+a．（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥a2对一切实

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|+a．（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥a2对一切实数x恒成立时，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=0时，求得 f(x)＝

?4x+2 ， x＜? 1 2 4 ， ? 1 2 ≤x≤ 3 2 4x?2 ， x＞ 3 2

，…（2分）
∴由f（x）≥6 可得 x≤-1，或x≥2，
所以，不等式的解集是（-∞，-1]∪[2，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）由于函数  f(x)＝

?4x+2+a ，x＜? 1 2 4+a ，? 1 2 ≤x≤ 3 2 4x?2+a ， x＞ 3 2

 的最小值是4+a，…（7分）
要使不等式f（x）≥a²恒成立，故有 4+a≥a²，解得

1? 17

2

≤a≤

1+ 17

2

．…（10分）