Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD. (1)求证：BD平分∠

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD. (1)求证：BD平分∠ABC；(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.

Answer 1

（1）（2）见解析

证明：(1)∵OD⊥AC　OD为半径， ∴ ＝ ，∴∠CBD＝∠ABD， ∴BD平分∠ABC； (2)∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°， ∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°， 又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90°， ∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝180°－90°－60°＝30°， 又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， 在Rt△ACB中，BC＝ AB， ∵OD＝ AB，∴BC＝OD.