Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD ∥ BC，∠B=90°，AD=6，BC=8， AB=3 3 ，点M是BC的中点．点P

如图，在直角梯形ABCD中，AD ∥ BC，∠B=90°，AD=6，BC=8， AB=3 3 ，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）y=MP+MQ=2t； （2）当BP=1时，有两种情形： ①如图1，若点P从点M向点B运动，有MB= 1 2 BC =4，MP=MQ=3， ∴PQ=6．连接EM， ∵△EPQ是等边三角形，∴EM⊥PQ．∴ EM=3 3 ． ∵AB= 3 3 ，∴点E在AD上． ∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面积为 9 3 ． ②若点P从点B向点M运动，由题意得t=5． PQ=BM+MQ-BP=8，PC=7． 设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G， 过点P作PH⊥AD于点H， 则HP= 3 3 ，AH=1． 在Rt△HPF中，∠HPF=30°， ∴HF=3，PF=6．∴FG=FE=2．又∵FD=2， ∴点G与点D重合，如图2． 此时△EPQ与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为 27 2 3 ． （3）能， 此时，4≤t≤5． 过程如下： 如图，当t=4时，P点与B点重合，Q点运动到C点， 此时被覆盖线段的长度达到最大值， ∵△PEQ为等边三角形， ∴∠EPC=60°， ∴∠APE=30°， ∵ AB=3 3 ， ∴AF=3，BF=6， ∴EF=FG=2， ∴GD=6-2-3=1， 所以Q向右还可运动1秒，FG的长度不变， ∴4≤t≤5．