Question

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并求出这个最小值．

Answer 1

（1）证明：∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴BM=BN，∠MBN=60°，
∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°，
∵∠ABM+∠ABN=60°，∠EBN+∠ABN=60°，
∴∠ABM=∠EBN，
在△AMB和△ENB中，

AB＝EB ∠ABM＝∠EBN BM＝BN

，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（2）解：①连接AC，AC与BD相交于点O，如图1，
∵四边形ABCD是边长为

2

的正方形，
∴AC=

2

×

2

=2，点O为BD的中点，
∵AM+CM≥AC（当M点在AC上时取等号），
∴当M点在BD的中点时，AM+CM的值最小，最小值为2；
②∵△BMN为等边三角形，
∴BM=MN，
∵△AMB≌△ENB，
∴EN=AM，
∴当点E、N、M、C共线时，AM+BM+CM的值最小，如图2，
作EH⊥BC于H，
∵∠ABE=60°，∠ABC=90°，
∴∠EBH=30°，
在Rt△EBH中，EH=

1

2

BE=

2

2

，
BH=

3

EH=