Question

数学课上，张老师出示了问题：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC的中点．∠ADE=60°，且DE交△ABC外角

数学课上，张老师出示了问题：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC的中点．∠ADE=60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E，求证：AD=DE．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接MD，则△BMD是等边三角形，易证△AMD≌△DCE，所以AD=DE．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点D是边BC的中点”改为“点D是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AD=DE”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小亮提出：如图3，点D是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AD=DE”仍然成立．你认为小华的观点______（填“正确”或“不正确”）．

Answer 1

（1）小颖的观点正确．
证明：如图，在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，BA=BC．
∴△BMD是等边三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°．
∵CE是外角∠ACF的平分线，
∴∠ECA=60°，∠DCE=120°．
∴∠AMD=∠DCE．
∵∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B
∴∠1=∠2．
又∵BA-BM=BC-BD，即MA=CD．
在△AMD和△DCE中，

∠1＝∠2 MA＝CD ∠AMD＝∠DCE

，
∴△AMD≌△DCE（ASA）．
∴AD=DE．

（2）正确．
证明：延长BA到M，使AM=CD，
与（1）相同，可证△BDM是等边三角形，
∵∠CDE=∠ADB+∠ADE=∠ADB+60°，
∠MAD=∠B+∠ADB=∠ADB+60°，
∴∠CDE=∠MAD，
同理可证，△AMD≌△DCE，
∴AD=DE．
故答案是：正确．

Answer 2

（1）正确

证明如图所示在AB上取一点M,使BM=BD连接MD

∵三角形ABC是等腰△

∴∠B=60°BA=BC

∴∠BMD是等边△

∠BMD=60°∠AMD=120°

∵CE是外角∠ACF是平分线

∴∠ECA=60°∠DCE=120°

∴ ∠AMD=∠DCE

∵∠ADE=∠B=60°∠ADC=∠2+∠ADE=∠1 +∠B

∴∠1=∠2

又∵BA—BM=BC—BD即MA=CD

△ AMD ≌△DCE（ASA）

 ∴ AD=DE

(2)正确

 

（1）正确

证明如图所示在AB上取一点M,使BM=BD连接MD

∵三角形ABC是等腰△

∴∠B=60°BA=BC

∴∠BMD是等边△

∠BMD=60°∠AMD=120°

∵CE是外角∠ACF是平分线

∴∠ECA=60°∠DCE=120°

∴ ∠AMD=∠DCE

∵∠ADE=∠B=60°∠ADC=∠2+∠ADE=∠1 +∠B

∴∠1=∠2

又∵BA—BM=BC—BD即MA=CD

△ AMD ≌△DCE（ASA）

 ∴ AD=DE

(2)正确

Answer 3

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