Question

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P为线段BD上的一个动点，点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示点P的纵坐标；（3）过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；（4）若点F是第一象限抛物线上的一个动点，过点F作FQ∥AC交x轴于点Q．当点F的坐标为______时，四边形FQAC是平行四边形；当点F的坐标为______时，四边形FQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），
∴可设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3）
又∵抛物线 与y轴交于点C（0，3），
∴3=a（0+1）（0-3）
∴a=-1
∴y=-（x+1）（x-3）
即抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3
∴y=-（x-1）²+4
∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）；

（2）设直线BD的解析式为：y=kx+b
由B（3，0），D（1，4）得

3k+b=0 k+b=4

解得

k=-2 b=6

．
∴直线BD的解析式为y=-2x+6，
∵点P在直线PD上，点P的横坐标为m
∴点P的纵坐标为：-2m+6；

（3）由（1），（2）知：
OA=1，OC=3，OM=m，PM=-2m+6，
∴S_{四边形PMAC}=S_△OAC+S_梯形OMPC
=

1

2

×1×3+

1

2

×(3-2m+6)×m
=-m2+

9

2

m+

3

2

=-(m-

9

4

)2+

105

16

，
∵1＜

9

4

＜3，
∴当m=

9

4

时，四边形PMAC的面积取得最大值为

105

16

，
此时点P的坐标为（

9

4

，

3

2

）；
                 
（4）①四边形PQAC是平行四边形，如右图①所示．
过点P作PE⊥x轴于点E，易证△AOC≌△QEP，
∴y_P=PE=CO=3．
又∵CP∥x轴，
则点C（0，3）与点P关于对称轴x=1对称，
∴x_P=2．
∴P（2，3）．
②四边形PQAC是等腰梯形，如右图②所示．
设P（m，n），P点在抛物线上，则有n=-m²+2m+3．
过P点作PE⊥x轴于点E，则PE=n．
在Rt△OAC中，OA=1，OC=3，
∴AC=

10

，tan∠CAO=3，cos∠CAO=

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