Question

已知函数f（x）=e2x+（1-2t）ex+t2，求证：当x≥0时，f（x）+cosx≥x+2

已知函数f（x）=e2x+（1-2t）ex+t2，求证：当x≥0时，f（x）+cosx≥x+2．

Answer 1

证明：令e^x=a，∵x≥0，∴a≥1，
∴f（x）=a²+（1-2t）a+t²，
∴a²+（1-2t）a+t²+cosx≥x+2，
∴（a-t）²+cosx+a≥x+2，
∴（a-t）²≥x+2-a-cosx，
∵（a-t）²≥0，
∴只要证t（x）=x+2-e^x-cosx≤0即可，
∵t′（x）=-e^x+sinx+1，
当x≥0时，t′（x）≤0，∴t（x）在[0，+∞）是减函数，
∴t（x）_max=t（0）=0∴t（x）≤0，
∴当x≥0时，f（x）+cosx≥x+2．