Question

设定义域为R的函数f(x)＝?2x+a2x+1+b（a，b为实数）．（1）若f（x）是奇函数，求a，b的值；（2）当f（x）

设定义域为R的函数f(x)＝?2x+a2x+1+b（a，b为实数）．（1）若f（x）是奇函数，求a，b的值；（2）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x，c都有f（x）＜c2-3c+3成立．

Answer 1

（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
即

?1+a

2+b

=0，
∴a=1，
∴f(x)＝

?2x+1

2x+1+b

，
∵f（1）=-f（-1），
∴

1?2

4+b

＝?

1? 1 2

1+b

，
∴b=2．
（2）f（x）=

1?2x

2x+1+2

=

1

2

?

1?2x

1+2x

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，
从而-

1

2

＜f（x）＜

1

2

；
而c²-3c+3=（c-

3

2

）²+

3

4

≥

3

4

对任何实数c成立，
∴对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．