Question

​圆o是三角形abc的外接圆，ab为直径，角bac的角平分线交圆o与点d

圆o是三角形abc的外接圆，ab为直径，角bac的角平分线交圆o与点d，过点d的切线分别交ab,ac的延长线与点e,f，求证af加cf等于ab【相似没学，不用相似】谢谢哪位学霸了

Answer 1

证明：

延长BD交AF的延长线于H，连接CD

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°=∠ADH

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

又∵AD=AD

∴△ABD≌△AHD（ASA）

∴AB=AH，DB=DH

∵∠BAD=∠CAD

∴DB=DC（等角对等弦）

∴DH=DC

∵EF是⊙O的切线

∴∠CDF=∠CAD（弦切角等于它夹的弧所对的圆周角）

   ∠HDF=∠BDE=∠BAD

∴∠CDF=∠HDF

又∵DF=DF

∴△ADF≌△HDF（SAS）

∴CF=FH

∵AH=AF+FH=AF+CF

∴AF+CF=AB

Answer 2

证明：过D作DH⊥AB于H，连接OD、BD，
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，
∵EF是切线，∴OD⊥EF，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAF=∠DAH，
∵∠ODA=∠DAF，∴AF∥OD，
∴∠D=∠ODE=90°，
∴∠F=∠AHD=90°，又AD=AD，
∴ΔADF≌ΔADH，
∴AH=AF，DF=DH，
∵∠DCF+∠ACD=180°，∠DBH+∠ACD=180°，
∴∠DCF=∠DBH，
∴ΔDCF≌ΔDBH，
∴BH=CF，
∴AB=AH+BH=AF+CF。