Question

如图在四棱锥P-ABCD中侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形．其中BC ∥ AD，∠BAD=90°，A

如图在四棱锥P-ABCD中侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形．其中BC ∥ AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一点①若CD ∥ 平面PBO 试指出O的位置并说明理由②求证平面PAB⊥平面PCD③若PD=BC=1，AB= 2 2 ，求P-ABCD的体积．

Answer 1

①因为CD ∥ 平面PBO，CD?平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO=BO， 所以BO ∥ CD 又BC ∥ AD， 所以四边形BCDO为平行四边形，则BC=DO， 而AD=3BC，故点O的位置满足AO=2OD． ②证明：因为侧面PAD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，且AB⊥交线AD， 所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD又PA⊥PD， 且PA?平面PAB，AB?平面PAB，AB∩PA=A， 所以PD⊥平面PAB，PD?平面PCD， 所以：平面PAB⊥平面PCD； ③过P作PE⊥AD， ∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD， ∴PE⊥底面ABCD， ∵PD=1，AD=3BC，棱PA⊥PD， ∴PA=2 2 ∴PE= 2 2 3 ∵AB= 2 2 ，∠BAD=90° ∴P-ABCD的体积为 1 3 ? 1 2 ?(1+3)?2 2 ? 2 2 3 = 16 9 ．