Question

如图，在平面直角坐标系中，点A(10,0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连接O

如图，在平面直角坐标系中，点A(10,0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF． (l)当∠AOB=30°时，求弧AB的长； (2)当DE=8时，求线段EF的长； (3)在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，清求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)连接BC，A( 10 ,0) , ∴ OA= 10 , CA= 5 ,AOB= 30°， ∴∠ACB=2∠AOB= 60°，     ∴ 弧 AB 的长= (2)连接 OD. OA是OC直径. ∴OBA= 90°，又AB=BD， ∴OB是AD 的垂直平分线. ∴OD= OA = 10， 在 Rt△ODE中， ∴AE=AO-OE= 10-6 =4， 由∠AOB = ∠ADE = 90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA， 得：△OEF∽△DEA.,      (3)设OE=x，     ①当交点E在0，C之间时.由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB 相似. 有∠ECF =∠BOA 或∠ECF=∠OAB， 当∠ECF=∠BOA时.此时△OCF为等腰三角形.点 E为 OC中点， 即 ∴E1 ( .0)； 当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x，AE=10-x， ∴CF∥AB. 有 CF= AB,△ECF∽△EAD， ，解得 ∴ E2( ，0)      ②当交点 E在点C 的右侧时.    ∠ECF>∠BOA，     ∴ 要使△ECF与△BAO相似.只能使∠ECF= ∠BAO,     连接 BE.     BE为 Rt ADE斜边上的中线，     ∴BE= AB =BD，    ∠BEA= ∠BAO,     ∴∠BEA=∠ECF.      ∴CF∥BE.     ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA= 90°， ∴△CEF∽△AED， 而AD=2BE，      ③当交点 E在点0 的左侧时.    ∠BOA= ∠EOF>∠EGF.      ∴要使△ECF与△BAO相似.只能使∠ECF=∠BAO     连接 BE，得：BE = AD=AB,∠BEA=∠BAO ∴∠ECF=∠BEA， ∴CF∥BF. 又∠ECF = ∠BAO，∠FEC = ∠DEA=90°， ∴△CEF∽△AED， 而AD=2BE, 解得 点 E在x 轴负半轴上 综上所述：存在以点 E：C、F为顶点的三角形与△AOB相似. 此时点 E坐标为：.