Question

（本小题满分12分）如图，直三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中， AC ＝ BC ＝1，∠ ACB ＝90°， AA 1

（本小题满分12分）如图，直三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中， AC ＝ BC ＝1，∠ ACB ＝90°， AA 1 ＝ ， D 是 A 1 B 1 中点． （1）求证： C 1 D ⊥ AB 1 ；（2）当点 F 在 BB 1 上什么位置时，会使得 AB 1 ⊥平面 C 1 DF ？并证明你的结论.

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Answer 1

（1） C 1 D ⊥平面 AA 1 B 1 B ．（2）点F为 的中点.

试题分析：（1）证明：如图， ∵  ABC — A 1 B 1 C 1 是直三棱柱， ∴  A 1 C 1 ＝ B 1 C 1 ＝1，且∠ A 1 C 1 B 1 ＝90°． 又 D 是 A 1 B 1 的中点，∴  C 1 D ⊥ A 1 B 1 ．-------------3分 ∵  AA 1 ⊥平面 A 1 B 1 C 1 ， C 1 D 平面 A 1 B 1 C 1 ， ∴  AA 1 ⊥ C 1 D ，∴  C 1 D ⊥平面 AA 1 B 1 B ． ∴ C 1 D ⊥ AB 1 -----------------------------------6分 （2）解：作 DF ⊥ AB 1 交 AB 1 于 E ， DF 交 BB 1 于 F ，连结 C 1 F ， 又由（1） C 1 D ⊥ AB 1 则 AB 1 ⊥平面 C 1 DF ，点 F 即为所求．---------------------9分 连 ∵   即四边形 为正方形. ∴    ∴ ∥ 又 D 是 A 1 B 1 的中点，点F为 的中点. ------------ 12分 点评：①本题主要考查了空间的线线垂直的证明，充分考查了学生的逻辑推理能力，空间想象力，以及识图能力。②我们要熟练掌握正棱柱、直棱柱的结构特征。正棱柱：底面是正多边形，侧棱垂直底面。直棱柱：侧棱垂直底面。