Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=9，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段AB交

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=9，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段AB交于点F，设CE=x．（1）若要使△DEF为等腰三角形，求x的值；（2）若点F是AB的中点，求x的值；（3）我们知道配方法可以求代数式的值的最大值或最小值，若BF取最大值时，试求x的值．

Answer 1

（1）∵EF⊥DE，△DEF为等腰三角形，
∴EF=ED．
∵∠BEF+∠DEC=90°，∠BEF+∠BFE=90°，∠DEC+∠CDE=90，
∴∠BEF=∠CDE，∠BFE=∠DEC．
在△BEF与△CDE中，
∵

∠BEF＝∠CDE EF＝DE ∠BFE＝∠DEC

，
∴△BEF≌△CDE（ASA）．
∴BE=CD=6，
∴CE=BC-BE=9-6=3，即x=3；

（2）∵AB=6，点F是AB的中点，
∴BF=

1

2

AB=3．
∵∠BEF+∠DEC=90°，∠BEF+∠BFE=90°，∠DEC+∠CDE=90∴，
∴∠BEF=∠CDE，∠BFE=∠DEC．
∴△BEF∽△CDE，
∴

BE

CD

=

BF

CE

，即

9?x

6

=

3

x

，解得x=3或x=6；

（3）∵由（2）知，△BEF∽△CDE，
∴

BE

CD

=

BF

CE

，即

9?x

6

=

BF

x

，故BF=

x(9?x)

6

=-

1

6

x²+

3

2

x，
∴当BF最大时，x=-

3 2

2×(? 1 6 )

=

9

2

．