Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点F1，F2在x轴上，离心率为12，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形周长

已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点F1，F2在x轴上，离心率为12，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形周长等于8．（1）求椭圆C的方程；（2）M、N是直线x=4上的两个动点，且F1M-F2N=0．设E是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆E的位置关系．

Answer 1

（1）由题意设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)，由题意得：

c

a

＝

1

2

，4a=8，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3．
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．
（2）由（1）知F₁（-1，0），F₂（1，0）．设M（4，t₁），N（4，t₂），
则

F1M

=（5，t₁），

F2N

=（3，t₂），

OM

=（4，t₁），

ON

=（4，t₂），
因为

F1M

?

F2N

＝0，所以5×3+t₁t₂=0．