Question

设函数f（x）=|x-1|+|2x-a|，a∈R．（Ⅰ）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若f（x）≥4对x∈R恒

设函数f（x）=|x-1|+|2x-a|，a∈R．（Ⅰ）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）a=4时，f（x）=|x-1|+|2x-4|，
令|x-1|=0，得x=1；令|2x-4|=0，得x=2．
①当x≤1时，由f（x）=-（x-1）-（2x-4）=-3x+5≥5得x≤0，
∴x≤0．
②当1＜x＜2时，由f（x）=（x-1）-（2x-4）=-x+3≥5，得x≤-2，
∴原不等式无实数解．
③当x≥2时，由f（x）=（x-1）+（2x-4）=3x-5≥5，得x≥

10

3

，
∴x≥

10

3

．
综合①、②、③知，不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥

10

3

}．
（Ⅱ）x=1时，f（x）=|2-a|；x=

a

2

时，f（x）=|

a

2

-1|．作出f（x）的图象，如右图所示，
要使f（x）≥4对x∈R恒成立，则

|2?a|≥4 | a 2 ?1|≥4

，得

a≥6，或a≤?2 a≥10，或a≤?6

得a≥10或a≤-6，故a的取值范围是[10，+∞）∪（-∞，-6]．