Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC>1），连结BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E。 （1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论。（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化，若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由。（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC=m，AF=n，用含n的代数式表示m。

Answer 1

解：（1）两个三角形全等 ∵△AOB、△CBD都是等边三角形 ∴OBA=∠CBD=60° ∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC 即∠OBC=∠ABD ∵OB=AB，BC=BD ∴△OBC≌△ABD。 （2）点E位置不变 ∵△OBC≌△ABD ∴∠BAD=∠BOC=60° ∠OAE=180°-60°-60°=60° 在Rt△EOA中，EO=OA·tan60°= 或∠AEO=30°，得AE=2， ∴OE= ∴点E的坐标为（0， ）。 （3）∵AC=m，AF=n， 由相交弦定理知1·m=n·AG，即AG= 又∵OC是直径， ∴OE是圆的切线，OE 2 =EG·EF 在Rt△EOA中，AE= =2 （ ） 2 =（2- ）（2+n） 即2n 2 +n-2m-mn=0 解得m= 。