Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（1）；（2

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（1）；（2）证明f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）若关于x的不等式f（k?3 x ）-f（9 x -3 x +1）≥f（1）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）， 令x=y=1， 则F（1）=2f（1） ∴f（1）=0；           （5分） 证明：（2）由f（xy）=f（x）+f（y） 可得 f( y x )=f(y)-f(x) ， 设x 1 ＞x 2 ＞0， f( x 1 )-f( x 2 )=f( x 1 x 2 ) ， x 1 x 2 ＞1 ， ∴ f( x 1 x 2 )＜0 ，即f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0 ∴f（x 1 ）＜f（x 2 ），所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；（10分） （3）因为f（k?3 x ）-f（9 x -3 x +1）≥f（1）， 所以f（k?3 x ）≥f（9 x -3 x +1），由（2）得 k? 3 x ≤ 9 x - 3 x +1 k? 3 x ＞0 （*）恒成立， 令t=3 x ＞0，则（*）可化为t 2 -（k+1）t+1≥0对任意t＞0恒成立，且k＞0， ∴（k+1） 2 -4≤0 ∴0＜k≤1．（15分）