Question

定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2k）（k∈Z），且当x∈（0，1）时， f(x)= 2 x 4

定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2k）（k∈Z），且当x∈（0，1）时， f(x)= 2 x 4 x +1 ．（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上的解析式；（Ⅱ）当m取何值时，方程f（x）=m在（0，1）上有解？

Answer 1

（Ⅰ）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）， 由f（x）为R上的奇函数，得 f(-x)=-f(x)= 2 -x 4 -x +1 = 2 x 4 x +1 ， 此时f（x）=- 2 x 4 x +1 （4分） 又f（0）=-f（0），f（0）=0， ∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1-2）=f（1）， ∴f（-1）=0，f（1）=0，（7分） ∴ f(x)= - 2 x 4 x +1 ，x∈(-1，0) 0，x=0，±1 2 x 4 x +1 ，x∈(0，1) （8分） （Ⅱ）∵x∈（0，1） ∴ m= 2 x 4 x +1 = 1 2 x + 1 2 x ，（11分） 2 x ∈（1，2）， ∴ 2 x + 1 2 x ∈(2， 5 2 ) ， 即 m∈( 2 5 ， 1 2 ) ．    （14分）