Question

如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，G、F分别是AD、BC边上的点，若AG+BF=5，∠GEF=90°，则GF的长为______

如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，G、F分别是AD、BC边上的点，若AG+BF=5，∠GEF=90°，则GF的长为______．

Answer 1

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB．
∴△AEG∽△BFE，
∴

AE

FB

=

AG

BE

，
又∵AE=BE，
∴AE²=AG?BF，
∴GF²=GE²+EF²=AG²+AE²+BE²+BF²=AG²+BF²+AE²+BE²=AG²+BF²+2AE²=AG²+BF²+2AG?BF=（AG+BF）²=25，
∴GF的长为5．
故答案为：5．