Question

（2014?安庆三模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1

（2014?安庆三模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥D-BC1C的体积．

Answer 1

（1）证明：连接B₁C，设B₁C与BC₁相交于O，连接OD，
∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，∴点O为B₁C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB₁C的中位线，∴OD∥B₁A．
OD?平BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴侧棱CC₁∥AA₁，
又∵AA₁底面ABC，∴侧棱CC₁⊥面ABC，
故CC₁为三棱锥C₁-BCD的高，A₁A=CC₁=2，
∴S△BCD＝

1

2

S△ABC＝

1

2

(

1

2

BC?AB)＝

3

2

．
∴VD?BCC1＝VC1?BCD＝

1

3

CC1?S△BCD＝

1

3

?2?

3

2

＝1．