Question

如图，抛物线y=x2-2x-3与直线y=-x+b交于A，C两点，与x轴交于点A，B．点P为直线AC下方抛物线上的一个动点

如图，抛物线y=x2-2x-3与直线y=-x+b交于A，C两点，与x轴交于点A，B．点P为直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作PN⊥AB交AC与点M，垂足为N，连接AP，CP．设点P的横坐标为m．（1）求b的值；（2）用含m的代数式表示PM的长，并求使得△APC面积最大时，点P的坐标；（3）是否存在点P，使得△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）令x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，即A=（-1，0），B（3，0），
把A（-1，0）代入y=-x+b，得b=-1，
则一次函数解析式为y=-x-1；
（2）把x=m代入抛物线解析式得：y=m²-2m-3；代入直线解析式得：y=-m-1，
∴NP=-（m²-2m-3），MN=-（-m-1），
∴MP=NP-NM=-（m²-2m-3）+（-m-1）=-m²+m+2（-1＜m＜2），
作CE⊥AB于点E，则S_△APC=S_△AMP+S_△CMP=

1

2

MP?AN+

1

2

MP?NE=

1

2

MP?AE，
∵AE为定值，∴MP取最大值时，△APC面积最大，
∵-1＜0，
∴当m=-

b

2a

=

1

2

时，△APC面积最大，此时P（

1

2

，-

15

4

）；
（3）分三种情况考虑：当P为抛物线顶点，即MC=PC时，坐标为P₁（1，-4）；
当P为C关于抛物线对称轴对称的点，即MP=MC时，P₂（0，-3）；
当P为MC的垂直平分线上点，即PM=PC时，P₃（

2

-1，2-4

2

）．