Question

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，把△BCD沿对角线BD折叠，使点C 落在C ′处，BC ′交AD 于点G ；E

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，把△BCD沿对角线BD折叠，使点C 落在C ′处，BC ′交AD 于点G ；E 、F 分别是C ′D 和BD 上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合。（1）求证：△ABG≌△C ′DG ； （2）求tan∠ABG的值； （3）求EF的长。

Answer 1

解：（1）∵△BDC ′由△BDC 翻折而成， ∴∠C= ∠BAG=90 °，C′D=AB=CD ，∠AGB=∠DGC′， ∴∠ABG= ∠ADE ， 在：△ABG ≌△C′DG 中， ∵ ， ∴△ABG≌△C′DG； （2）∵由（1）可知△ABG≌△C′DG， ∴GD=GB， ∴AG+GB=AD， 设AG=x，则GB=8﹣x， 在Rt△ABG中， ∵AB 2 +AG 2 =BG 2 ， 即6 2 +x 2 =（8﹣x） 2 ， 解得x= ， ∴tan∠ABG= = = ； （3）∵△AEF是△DEF翻折而成， ∴EF垂直平分AD， ∴HD= AD=4， ∴tan∠ABG=tan∠ADE= ， ∴EH=HD× =4× = ， ∵EF垂直平分AD，AB⊥AD， ∴HF是△ABD的中位线， ∴HF= AB= ×6=3， ∴EF=EH+HF= +3= 。