Question

（2014?德阳）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE

（2014?德阳）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论正确的是______．（填番号）①AC⊥DE；②BEHE=12；③CD=2DH；④S△BEHS△BEC=DHAC．

Answer 1

∵AD∥BC，∠ABC=90°
∴∠BAD=90°，
又∵AB=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-45°=45°，
∴∠BAC=∠CAD，
∴AH⊥ED，
即AC⊥ED，故①正确；
∵△CHE为直角三角形，且∠HEC=60°
∴EC=2EH
∵∠ECB=15°，
∴EC≠4EB，
∴EH≠2EB；故②错误．
∵由证①中已知，∠BAC=∠CAD，
在△ACD和△ACE中，

AE＝AD ∠BAC＝∠CAD AC＝AC

，
∴△ACD≌△ACE（SAS），
∴CD=CE，
∵∠BCE=15°，
∴∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°，
∴∠CED=180°-∠BEC-∠AED=180°-75°-45°=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠DCH=30°，
∴CD=2DH，故③正确；
过H作HM⊥AB于M，
∴HM∥BC，
∴△AMH∽△ABC，
∴

MH

BC

＝

AH

AC

，
∵∠DAC=∠ADH=45°，
∴DH=AH，
∴

MH

BC

＝

DH

AC

，
∵△BEH和△CBE有公共底BE，
∴

S△BEH

S△BEC

＝

MH

BC

＝

DH

AC

，故④正确，
故答案为：①③④．

Answer 2

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