Question

八（一）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：（Ⅰ）如图1，先在平地

八（一）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离． 阅读后回答下列问题：（1）方案（Ⅰ）是否可行？请说明理由；（2）方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由；（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是______；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否成立？______．

Answer 1

（1）方案（Ⅰ）可行； ∵DC=AC，EC=BC且有对顶角∠ACB=∠DCE ∴△ACB≌△DCE（SAS） ∴AB=DE ∴测出DE的距离即为AB的长 故方案（Ⅰ）可行． （2）方案（Ⅱ）可行； ∵AB⊥BC，DE⊥CD ∴∠ABC=∠EDC=90° 又∵BC=CD，∠ACB=∠ECD ∴△ABC≌△EDC ∴AB=ED ∴测出DE的长即为AB的距离 故方案（Ⅱ）可行． （3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE． 若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）不成立； 理由：若∠ABD=∠BDE≠90°，∠ACB=∠ECD， ∴△ABC ∽ △EDC， ∴ AB ED = BC CD ， ∴只要测出ED、BC、CD的长，即可求得AB的长． 但是此题没有其他条件，可能无法测出其他线段长度， ∴方案（Ⅱ）不成立．