Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点，（1）证明：AD⊥平面PAC；（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：∵∠ADC=45°，且AD=AC=2， ∴∠DAC=90°，即AD⊥AC 又∵PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD， ∴PO⊥AD， 又∵AC∩PO=O， ∴AD⊥平面PAC （2）取DO中点N，连接MN，AN ∵M为PD的中点，∴MN ∥ PO，且MN= 1 2 PO=1， ∵PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD ∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角． 在Rt△DAO中，∵AD=2，AO=1，∠DAO=90°，∴DO= 5 ， ∴AN= 1 2 DO= 5 2 ， 在Rt△ANM中，sin∠MAN= MN M N 2 +AN 2 = 2 3 ， 即直线AM与平面ABCD所成角的正弦值为 2 3 ．