Question

设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（

设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且当x＞1时，f（x）＞0．（1）求 f( 1 2 ) 的值，试判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明；（2）一个各项均为正数的数列{a n }，它的前n项和是S n ，若a 1 =3，且f（S n ）=f（a n ）+f（a n +1）-1（n≥2，n∈N * ），求数列{a n }的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在实数M，使 2 n ? a 1 ? a 2 … a n ≥M? 2n+3 ?(2 a 1 -1)?(2 a 2 -1)…(2 a n -1) 对于一切正整数n均成立？若存在，求出M的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）令x=y=1，得f（1）=0；令 x=2，y= 1 2 ，得 f( 1 2 )=-1 （2分） y=f（x）在（0，+∞）上单调递增．下面证明： 任取0＜x 1 ＜x 2 ，则 x 2 x 1 ＞1 ， ∵当x＞1时，f（x）＞0，∴ f( x 2 x 1 )＞0 在已知式中令 x= x 1 ，y= x 2 x 1 ，得 f( x 2 )-f( x 1 )=f( x 2 x 1 )＞0 ，即证．（4分） （2）当n≥2时，∵f（S n ）=f（a n ）+f（a n +1）-1 ∴f（S n ）+1=f（a n ）+f（a n +1），即f（2S n ）=f（a n （a n +1）） ∵y=f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴2S n =a n （a n +1）（6分） ∴2S n+1 =a n+1 （a n+1 +1） 两式相减得： 2 a n+1 = a 2n+1 + a n+1 - a 2n - a n ，即（a n+1 +a n ）（a n+1 -a n -1）=0∵a n ＞0， ∴a n+1 -a n =1∴数列{a n }从第二项起，是以1为公差的等差数列…（7分） 又在2S n =a n （a n +1）中令n=2可得：a 2 =3 综上， a n = 3，n=1 n+1，n≥2 ．（8分） （3）n=1时， 2×3≥M? 5 ?5，M≤ 6 5 25 （9分） n≥2时， 2 n ?3?3?4…(n+1)≥M 2n+3 ?5?5?7…(2n+1) ∴ M≤ 2 n ?3?3?4…(n+1) 2n+3 ?5?5?7…(2n+1) 令 b n = 2 n ?3?3?4…(n+1) 2n+3 ?5?5?7…(2n+1) ， 则 b n+1 b n = 2(n+2) 2n+3 (2n+3) 2n+5 = 4 n 2 +16n+16 4 n 2 +16n+15 ＞1 ∴{b n }是递增数列 ∴ M≤ b 2 = 36 7 25×7 ＜ 6 5 25 ∴ M≤ 36 7 175 （12分）