Question

已知函数f（x）=x3-2x2-4x-7，其导函数为f′（x）．①f（x）的单调减区间是(23，2)；②f（x）的极小值是-

已知函数f（x）=x3-2x2-4x-7，其导函数为f′（x）．①f（x）的单调减区间是(23，2)；②f（x）的极小值是-15；③当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）④函数f（x）满足f(23?x)+f(23+x)＝0其中假命题的个数为（　　）A．0个B．1个C．2个D．3个

Answer 1

∵f（x）=x³-2x²-4x-7，
∴f′（x）=3x²-4x-4，
令f′（x）=3x²-4x-4=0，得x 1＝?

2

3

，x₂=2．
列表讨论

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	-	0	+
f（x）	↓		↓	极小值	↑

∴减区间为（-∞，2]，增区间为[2，+∞），
当x=2时，函数有极小值f（2）=8-2×4-4×2-7=-15，
故①错误，②正确；
∵a＞2，x＞2且x≠a，
∴f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）
=x³-2x²-4x-a³+2a²+4a-（3a²-4a-4）（x-a）
=x³+2a³-2x²-2a²-3a²x+4ax＞0，
∴恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a），
故③正确；
∵f（x）=x³-2x²-4x-7，
∴函数f（x）不满足f(

2

3

?x)+f(

2

3

+x)＝0，
故④不正确，
故选C．