Question

已知函数f(x)＝2x?12x+1．（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；

已知函数f(x)＝2x?12x+1．（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；（3）求f（x）的值域；（4）解不等式f(x)＞79．

Answer 1

（1）f（x）为奇函数．
因为f（x）的定义域为R，对?x∈R
∵f(?x)＝

2?x?1

2?x+1

＝

1?2x

1+2x

＝?

2x?1

2x+1

＝?f(x)，
∴f（x）为奇函数．
（2）f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
∵对-∞＜x₁＜x₂＜+∞，2x1?2x2＜0，
f(x)＝

2x?1

2x+1

＝1?

2

2x+1

又f(x1)?f(x2)＝(1?

2

2x1+1

)?(1?

2

2x2+1

)＝

2

2x2+1

?

2

2x1+1

=

2(2x1?2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0；
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
（3）∵f(x)＝

2x?1

2x+1

＝1?

2

2x+1

，
又f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
∴f（x）∈（-1，1）．
（4）∵f(3)＝

7

9

；
又∵f(x)＞

7

9

即为f（x）＞f（3）；
又f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
∴不等式f(x)＞

7

9

的解集为{x|x＞3}