Question

（理）已知函数f（x）=αx3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数，且在f′（x）min=-1（x∈R），limx→0f(

（理）已知函数f（x）=αx3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数，且在f′（x）min=-1（x∈R），limx→0f(3+x)?f(3)x＝8．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若函数f（x）的图象与函数m（x）=nx2-2x的图象有三个不同的交点，且都在y轴的右方，求实数n的取值范围；（3）若g（x）与f（x）的表达式相同，是否存在区间[a，b]，使得函数g（x）的定义域和值域都是[a，b]，若存在，求出满足条件的一个区间[a，b]；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数?f（-x）=-f（x）恒成立?b=d=0，f'（x）=3ax²+c，
由

lim

x→0

f(3+x)?f(3)

x

＝8，知f'（3）=8；又f'（x）_min=-1（x∈R），
∴c=-1，f′(3)＝27a?1＝8?a＝

1

3

，
∴f(x)＝

1

3

x3?x．
（2）由题意方程

1

3

x3?x=nx²-2x即x（x²-3nx+3）=0有三个不同的非负根，即x²-3nx+3=0有两个不同的正根，
∴

n＞0 △＝9n2?12＞0

?n＞

2 3

3

．
（3）假设存在，由

y＝ 1 3 x3?x y＝x

得x=0或x=±

6

．
令f'（x）=x²-1=0得x=±1，当x∈[?

6

，?1)或x∈(1，

6

]时f'（x）＞0；
当x∈（-1，1）时f'（x）＜0．
∴函数f（x）在x∈[?

6

，?1)，(1，

6

]上单调递增，在x∈（-1，1）上单调递减．
∴f（x）在[?

6

，

6

]上的极大值和极小值分别为f(?1)＝

2

3

，f(1)＝?

2

3

，而?

6

＜?

2

3

＜

2

3

＜

6

．
所以存在满足条件的区间[α，β]，如x∈[?

6

，

6

]，y∈[?

6

，

6

]．