Question

高一数学题 求大神解答！！ 不要复制，自己做！

如图,某海岛观察哨A在海岛北偏东60°的C处看到一轮船,80分钟后测得船在海岛北偏西60°的B处,又过了20分钟轮船到达位于海岛正西方且距离海岛5km的E港.如果轮船始终做匀速直线运动,问船速多少?

Answer 1

这道题目关键是模型要正确。而且不要怕麻烦。如图：

 

假设船速为v(km/min)，BE长度为a，BC长度为b，AB长度为c，AC长度为d。

 

根据BE，即距离a是船行驶20分钟的距离，则有：

a = 20v  ........(1)

 

根据BC，即距离b是船行驶80分钟的距离，则有：

b = 80v  ........(2)

 

从(1)和(2)不难看出：b = 4a  ...(3)

 

考虑三角形ABE，根据三角形余弦定理：

sin∠E / |AB| = sin30° / |BE|

即：sin∠E / c = 0.5 / a      ...(4)

 

sin∠E / |AC| = sin150° / |CE|

即：sin∠E / d = 0.5 / (a + b)   ...(5)

 

由于 b = 4a，所以 a : (a + b) = 1 : 5

那么结合(4)和(5)，不难发现：

    c : d = 1 : 5，即 d = 5c

 

考虑三角形ABC，∠BAC=120°，根据余弦定理：

|BC|² = |AB|² + |AC|² - 2 |AB| |AC| cos120°

即：b² = c² + d² + cd   ........(6)

 

b² = c² + 25c² + 5c² = 31c²

即 b = (√31)c

又因为b = 4a，那么:

a = (√31)c / 4    .......(7)

 

考虑三角形ABE，根据余弦定理：

|BE|² = |AE|² + |AB|² - 2 |AE| |AB| cos30°

即：a² = 25 + c² - 5c√3   ........(8)

结合(7)有：31c² / 16 = 25 + c² - 5c√3

15c² + 80c√3 - 400 = 0

3c² + 16c√3 - 80 = 0

 解得：c = -(20√3)/3 或者 c = (4√3)/3，显然，这里这能取正值，即c = (4√3)/3

代入(7)有：a = (√93) / 3

 

那么v = a / 20 = (√63) / 60 ≈ 0.1607275(km / min)

Answer 2

由题意得BC=4BE,∴S△ABC=4S△ABE
设AB=4a,作BD⊥AE於D,则BE=2a,S△ABE=5a
∴S△ABC=20a=1/2*AB*AC*sin120°,AC=20/√3
作CF⊥AE於F,则AF=ACcos30°=10,CF=ACsin30°=10/√3
∴EF=15,勾股定理得CE=5√93/3
∴v=(5√93/3)/100=√93/60(km/min)