Question

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已知圆心坐标为（0，1）的圆C与直线m:x–y–1＝0相交所得的弦长为2√7，求⑴求圆C的方程，⑵若点M（x,y）在圆C上，求x²＋3y的最值

Answer 1

1、假设直线和圆的两个交点分别为A、B，圆心为O，过圆心O向直线m做垂线OC，交AB于C点。则AC=CB=根号7，连接圆心O和A点，可知OA为圆的半径。在直角三角形AOC中，AC=根号7，OC=根号2（由点到直线距离公式可算出），所以AO²=AC²+OC²=9，所以AO=3.因此，圆的方程是x²+(y+1)²=9

2、由圆的方程可得，x²+y²+2y+1=9，两边同时加y，原式变为，x²+3y=-y²-1+9+y，所以求x²+3y的最值变为求二次函数-y²+y+8的最值，因为点M在圆上，所以y的定义域为[-2，4].当y=-1/2时，-y²+y+8有最大值为35/4。-2和对称轴的距离=5/2,4和对称轴的距离为7/2.所以当y=4时有最小值-4

Answer 2

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