Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC． （1）求证：EF是⊙O的切线；

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC． （1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：AC 2 =AD?AB；（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）见解析   （2）见解析   （3） ﹣ π

（1）证明：连接OC， ∵OA=OC， ∴∠BAC=∠OCA， ∵∠DAC=∠BAC， ∴∠OCA=∠DAC， ∴OC∥AD， ∵AD⊥EF， ∴OC⊥EF， ∵OC为半径， ∴EF是⊙O的切线． （2）证明：∵AB为⊙O直径，AD⊥EF， ∴∠BCA=∠ADC=90°， ∵∠DAC=∠BAC， ∴△ACB∽△ADC， ∴ = ， ∴AC 2 =AD?AB． （3）解：∵∠ACD=30°，∠OCD=90°， ∴∠OCA=60°， ∵OC=OA， ∴△OAC是等边三角形， ∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°， ∵在Rt△ACD中，AD= AC=1， 由勾股定理得：DC= ， ∴阴影部分的面积是S=S 梯形OCDA ﹣S 扇形OCA = ×（2+1）× ﹣ = ﹣ π．