Question

（2009?广州一模）如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任=A意一点，A

（2009?广州一模）如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任=A意一点，A1A=AB=2．（1）求证：BC⊥平面A1AC；（2）求三棱锥A1-ABC的体积的最大值．

Answer 1

（1）证明：∵C是底面圆周上异于A、B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，
∴BC⊥AC．
∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC．
∵AA₁∩AC=A，AA₁?平面AA₁C，AC?平面AA₁C，
∴BC⊥平面AA₁C．
（2）设AC=x，在Rt△ABC中，
BC=

AB2?AC2

=

4?x2

（0＜x＜2），
故VA₁-ABC=

1

3

S_△ABC?AA₁=

1

3

?

1

2

?AC?BC?AA₁
=

1

3

x

4?x2

（0＜x＜2），
即VA₁-ABC=

1

3

x

4?x2

=

1

3

x2(4?x2)

=

1

3

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