Question

（2014?安顺）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长

（2014?安顺）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC=PG．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2=BF?BO．求证：点G是BC的中点；（3）在满足（2）的条件下，AB=10，ED=46，求BG的长．

Answer 1

（1）证明：连OC，如图，
∵ED⊥AB，
∴∠FBG+∠FGB=90°，
又∵PC=PG，
∴∠1=∠2，
而∠2=∠FGB，∠4=∠FBG，
∴∠1+∠4=90°，即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；

（2）证明：连OG，如图，
∵BG²=BF?BO，即BG：BO=BF：BG，
而∠FBG=∠GBO，
∴△BGO∽△BFG，
∴∠OGB=∠BFG=90°，
即OG⊥BG，
∴BG=CG，即点G是BC的中点；

（3）解：连OE，如图，
∵ED⊥AB，
∴FE=FD，
而AB=10，ED=4

6

，
∴EF=2

6

，OE=5，
在Rt△OEF中，OF=

OE2?EF2

=

52?(2 6 )2

=1，
∴BF=5-1=4，
∵BG²=BF?BO，
∴BG²=BF?BO=4×5，
∴BG=2

5

．