Question

（2014?岳阳二模）如图所示，在第一、二象限存在场强均为E的匀强电场，其中第一象限的匀强电场的方向沿x

（2014?岳阳二模）如图所示，在第一、二象限存在场强均为E的匀强电场，其中第一象限的匀强电场的方向沿x轴正方向，第二象限的电场方向沿x轴负方向．在第三、四象限矩形区域ABCD内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，矩形区域的AB边与x轴重合．M点是第一象限中无限靠近y轴的一点，在M点有一质量为m、电荷量为e的质子，以初速度v0沿y轴负方向开始运动，恰好从N点进入磁场，若OM=2ON，不计质子的重力，试求：（1）N点横坐标d；（2）若质子经过磁场最后能无限靠近M点，则矩形区域的最小面积是多少；（3）在（2）的前提下，该质子由M点出发返回到无限靠近M点所需的时间．

Answer 1

（1）粒子从M点到N点做类平抛运动，设运动时间为t₁，则有：
d=

1

2

at₁²；
2d=v₀t₁
a=

Ee

m

解得：d=

m v 2 0

2eE

；
（2）根据运动的对称性作出运动轨迹如图所示
设粒子到达N点时沿x轴正方向分速度为v_x，则有v_x=

2ad

=v₀；
质子进入磁场时的速度大小v=

v 2 x + v 2 y

=

2

v0；
质子进入磁场时速度方向与x轴正方向夹角为45°；
根据几何关系，质子在磁场中做圆周运动的半径为R=

2

d，AB边的最小长度2R=2

2

d；BC边的最小长度为R+d=

2

d+d；
矩形区域的最小面积为S=

( 2 +2)m2 v 4 0

2e2E2

；

（3）质子在磁场中运动的圆心角为

3π

2

，运动时间t₂=

3T

4

T=

2πR

2 v0

=

πmv0

eE

根据对称性，质子在第二象限运动时间与在第一象限运动时间相等，质子在第一象限运动时间t₁=

2d

v0

=

mv0

eE

质子由M点出发返回M点所需的时间为：T=2t₁+t₂=

2mv0

eE

+

3πmv0

4eE

答：（1）N点横坐标d=

m v 2 0

2eE

；（2）矩形区域的最小面积为S=

( 2 +2)m2 v 4 0

2e2E2

；（3）质子由M点出发返回M点所需的时间为：T=2t₁+t₂=

2mv0

eE

+

3πmv0

4eE