Question

已知函数f（x）=-x3+x2（x∈R），g（x）满足g′（x）=ax（a∈R，x＞0），且g（e）=a，e为自然对数的底数

已知函数f（x）=-x3+x2（x∈R），g（x）满足g′（x）=ax（a∈R，x＞0），且g（e）=a，e为自然对数的底数．（Ⅰ）已知h（x）=e1-xf（x），求h（x）在（1，h（1））处的切线方程；（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使得g（x）≥-x2+（a+2）x成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）h（x）=e^1-xf（x）=（-x³+x²）e^1-x，
h′（x）=（x³-4x²+2x）e^1-x，
∴h（1）=0，h′（1）=-1，
∴h（x）在（1，h（1））处的切线方程为：y=1-x；
（Ⅱ）∵g′（x）=

a

x

（a∈R，x＞0），
∴g（x）=alnx+c，∴g（e）=a+c=a，c=0，即g（x）=alnx，
由g（x）≥-x²+（a+2）x得（x-lnx）a≤x²-2x，
由于x∈[1，e]，lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，则lnx＜x，
从而a≤

x2?2x

x?lnx

，由于存在x∈[1，e]，使得g（x）≥-x²+（a+2）x成立，
则a≤

x2?2x

x?lnx

的最大值，
令t（x）=

x2?2x

x?lnx

，t′（x）=

(x?1)(x+2?2lnx)

(x?lnx)2

，
∵x∈[1，e]，∴x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
∴t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上递增，
∴t（x）_max=t（e）=

e2?2e

e?1

，
故a≤

e2?2e

e?1

．